Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 410 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 899 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 1073 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 802
Tags: Funksjonslære , R1

En funksjon er kontinuerlig hvis grafen er en sammenhengende kurve. Dette betyr at alle x verdier gir funksjonen en verdi.

En rasjonal funkson \(\frac{2x^2+x-3}{x+2}\) har ingen verdi for \(x=-2\) fordi nevenren da blir null, og er ikke kontinuerlig.

Grafisk kan en kontinuerlig funksjon se slik ut (venstre) mens en ikke kontinuerlig funksjon kan se ut som til høyre.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En funksjon er kontinuerlig for \(x=a\) dersom \(f(a)\) eksisterer og \begin{align}\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\end{align}

Alle polynomfunksjoner er kontinuerlig
Rasjonale funksjoner med polynom i teller og nevner er kontinuerlige der nevener ikke er null

Funksjoner som ikke nødvendigvis er kontinuerlige er funksjoner med delt funksjonsutrykk


\begin{align}f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + 4x - 3}\\{ - x + 4}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x \ge 1}\end{array}\end{align}

Her er vi interessert i om funksjonen er kontinuerlig for \(x=1\). Vi ser at den delte funksjonen er satt sammen av to polynomfunksjoner og de vet vi er kontinuerlige. Spørsmålet blir derfor om funksjonen henger sammen når \(x=1\).

Skal de henge sammen må Grenseverdier være lik for begge funksjonene. Siden den ene funksjonen bare er gyldig for verdier mindre enn 1 og den andre for verdier større eller lik en må vi gå finne grenseverdien ved å bevege oss fra venstre mot 1 for funksjonen \(2x^2+4x-3\) og for \(-x+4\) må vi bevege oss fra høyre mot x verdien 1.

Vi sjekker altså om

\begin{align}\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}=f(a)\end{align}

Først sjekker vi når vi kommer fra den negative siden av 1

\begin{align}\lim_{x\to 1^-}f(x)&=\lim_{x\to 1}2x^2+4x-3=2\cdot 1^2+4\cdot 1-3=3\end{align}

Så sjekker vi grenseverdien når vi kommer fra den positive siden av 1

\begin{align}\lim_{x\to 1^+}f(x)&=\lim_{x\to 1^+}-x+4=-1+4=3\end{align}

Til slutt sjekker vi at funksjonsutrykket har samme verdi som grensene

\begin{align}f(1)=-1+4=3\end{align}

Vi har nå oppfylt at

\begin{align}\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^+}=f(1)\end{align}

Funksjonen er kontinuerlig fordi grenseverdiene er lik med funksjonsverdien

comments