Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 410 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 899 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 1073 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 802
Tags: Funksjonslære , R1

Teori

Vi ser på rasjonale funksjoner. Altså funksjoner som har en teller og en nevner. Videre ser vi på de tilfellene der både teller og nevner er polynomfunksjoner.

\begin{align}f(x)&=\frac{P(x)}{Q(x)}\end{align}

Fra før vet vi at

\begin{align}\lim_{x\to a}f(x)&=\frac{P(x)}{Q(x)}\; \text{når }Q(a)\neq 0\end{align}

Eksempel

Nå skal vi se på hva som skjer dersom \(P(a)\neq 0\) og \(Q(a)=0\).

Vi ser for på funksjonen

\begin{align}f(x)=\frac{x^2+3x}{3x^2+3x-4}\end{align}

Først finner  vi når nevneren er lik null

Det viser seg at

\begin{align}3x^2+3x-4&=0\\x_1&=-1,76\\x_2&=0,76\end{align}

Vi vet at når nevner er lik null har funksjonen ingen verdi fordi vi ikke kan dividere med null. ( \(f(-1,76)=?\)

Når vi setter inn \(x_1\) og \(x_2\) i \(P(x)\) viser det seg at \(P(x_1)\neq 0\) og at \(P(x_2)\neq 0\).

Dette betyr at når

\begin{align}x\rightarrow  x_1 &\text{vil }  f(x)\rightarrow \pm \infty \\ x\rightarrow  x_2 &\text{vil }  f(x)\rightarrow \pm \infty\end{align}

Grafisk ser dette slik ut

Vi ser at for de x-verdiene nevneren blir null får funksjonen et brudd. På ene siden av bruddet stiger verdien til \(+\infty\) mens på andre siden av bruddet får funksjonen verdien \(-\infty\).

Dersom vi trekker en linje gjennom disse x-verdien får vi en linje som grafen nærmer seg, men aldri krysser. Dette kaller vi asymptote.

Vi finner altså de vertikale asymptotene ved å

  1. Undersøke når nevneren er null
  2. Sjekke at telleren er ulik null.
  3. Den vertikale asymptoten finnes for de x-verdier som gjør telleren lik null

I geogebra kan vi skrive inn

asymptote[<funksjon>]

og programmet finner asymptotene for oss.

Teori

De horisontale asymptotene finner vi når ved å la \(x \rightarrow \infty\), eller

Den horisontale asymptoten \(y=a\) finners dersom \begin{align} \lim_{x\to \pm \infty}f(x)=a\end{align}

Eksempel

Vi ser på funksjonen

\begin{align}f(x)=\frac{3x^2+3x-4}{x^2+3x}\end{align}

For å undersøke hva som skjer med funksjonen når \(x\rightarrow \pm \infty\) må vi får skrevet om funksjonen slik at vi får utrykk på formen \(\frac{1}{x^n}\). Dette kan vi gjøre ved å multiplisere med 1 over den den øyeste potensen, i dette tilfellet \(\frac{1}{x^2}\)

\begin{align}f(x)=\frac{x^2+3x}{3x^2+3x-4}=\frac{(x^2+3x)\frac{1}{x^2}}{(3x^2+3x-4)\cdot \frac{1}{x^2}}=\frac{1+\frac{3}{x}}{3+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}\end{align}

Når x blir stor vil \(\frac{1}{x^n} \rightarrow 0\) dermed står vi igjen med

\begin{align} f(x)\rightarrow \frac{1}{3}\end{align}

Den horisontale asymptoen vil altså ha likningen \(y=\frac{1}{3}\)

I geogebra finner vi også denne asymptoten med kommandoen

asymptoter[<funksjon>]

 

Animasjon

Under kan du endre når nevneren blir null ved å endre verdien på a og b. Glideren c angir hvor den horisontale aksen kommer.

comments