Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 410 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 899 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 1073 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 802

Teori

Derivasjon gir et utrykk for vekstfarten eller stigningstallet til en funksjon for gitte x-verdier.

Den generelle formelen

\begin{align}\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\end{align}

eller skrevet slik

\begin{align}f(x)&=x^n\\f'(x)&=n\cdot x^{n-1}\end{align}

kan brukes på utrykk som inneholder \(\sqrt{x}\) og \(\frac{1}{x^n}\)

Før vi ser på fremgangsmåten husker vi at:

når vi har flere ledd, deriverer vi ledd for ledd.

Eksempel

\begin{align}f(x)&=2x^2+4x-4\\f'(x)&=4x+4\end{align}

Her har vi altså derivert hvert ledd for seg.

Når vi får ulike polynom utrykk og utrykk som inneholder \(\sqrt{x}\) og \(frac{1}{x^n}\) må vi først få skrevet de om slik at alle ledd er på formen \(x^n\).

Eksempler

1)

\begin{align}f(x)&=3x^2+\sqrt{x} \\&=3cdot x^2+x^\frac{1}{2}\end{align}

Nå har vi skrevet om utrykket slik at vi kan bruke regelen \(x^n\) og derivere

\begin{align}f'(x)&=3\cdot 2x^1+\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\\&=6x+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\&=6x+\frac{1}{2x^{-\frac{1}{2}}}\\&=6x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{align}

Vi ser at \( (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Når vi vet dette er det ikke nødvendig å skrive om rot utrykket lenger men vi vet løsningen og kan skrive direkte hva \( (\sqrt{x})'\) er.

2)

Vi kan også ha utrykk som

\begin{align}f(x)&=\sqrt{x}+\frac{1}{x^3}\end{align}

som vi kan skrive om til

\begin{align}f(x)&=\sqrt{x}+x^{-3}\end{align}

Når vi skal derivere deriverer vi ledd for ledd

\begin{align}f'(x)&=\frac{1}{2\sqrt{x}}+(-3)x^{-3-1}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}-3x^{-4}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{x^4}\end{align}

Vi ser her at \( (\frac{1}{x^3} )'= -\frac{3}{x^4}\). Når vi kan denne reglen er det ikke nødvendig å skrive om \(f(x)\) for å urføre derivasjonen.

3)

Når vi skal derivere utrykk som

\begin{align}f(x)&=3\sqrt{x}+\frac{5}{x^4}+\sqrt[3]{x^5}\end{align}

skriver vi om \(f(x)\) til

\begin{align}f(x)&=3\sqrt{x}+\frac{5}{x^4}+x^{\frac{5}{3}}\end{align}

Da kan vi utføre derivasjonen

\begin{align}f'(x)&=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{5\cdot (-4)}{x^5}+\frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-\frac{3}{3}}\\&=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{5\cdot (-4)}{x^5}+\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}\\&=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{5\cdot (-4)}{x^5}+\frac{5}{3} \sqrt[3]{x^2} \end{align}

Relger

\begin{align}( \sqrt{x})'&=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\(\frac{1}{x^n})'&=-\frac{n}{x^{n+1}}\\(\sqrt[n]{x^m})'&=\frac{m}{n}\sqrt[n]{x^{m-n}}\end{align}

comments