Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 410 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 410 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 410 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 410 Strict Standards: Only variables should be assigned by reference in /customers/9/2/1/chatlevik.no/httpd.www/skole/plugins/content/fb_tw_plus1/fb_tw_plus1.php on line 410

Tags

  • Derivasjon

    Å derivere betyr å finne stigningstallet til en funksjon i et punkt.

    Vi kan derfor si at stigningstallet er lik den deriverte

    Den deriverte skriver vi som \(f'(x)\) og tegnet \('\) viser at funksjonen er derivert en gang, og vi ser f derivert av x.

    Vi kan derfor si at

    \begin{align}a=f'(x)\end{align}

     

    For å finne den deriverte i \(x\) velger vi punktet \((x,f(x))\), og et annet punkt som ligger like ved sidenav, \( (x+\Delta x,f(x+\Delta x))\).

    Fra animasjonen kan du se hva som skjer når \(\Delta x \rightarrow 0\). Dra i glideren a for å endre \(\Delta x\).

     

    Stigningstallet til den rette linjen finner vi ved \(a=\frac{\Delta y}{\Delta x}\), der  \(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\) Vi kan derfor skrive

    \begin{align}a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\end{align}

    Når vi lar \(\Delta x \rightarrow 0\) kan vi skrive

    \begin{align}a=f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\end{align}

    Dette betyr at vi lar avstanden mellom \(x\) og \(x+\Delta x\) bli så liten som mulig. Linjen vil da bli det nærmeste vi kommer en tangent til punktet \((x,f(x))\), og vil derfor være stigningen i punktet.

     

  • Derivasjon - Geogebra

    Når du har definert en funksjon i geogebra, f.eks

    f(x)=x^2+x-1
    

    kan du derivere den ved å skrive

    f'(x)
    

    Da får du opp den deriverte av f(x)

    f'(x)=2x
    

    Det kan være lurt å gi den deriverte et annet navn slik at du kan derivere f(x) ved å skrive

    fd(x)=f'(x)
    

    og den dobbelt deriverte som

    fdd(x)=f''(x)
    

  • Derivasjonsregler

    Teori

    Derivasjon gir et utrykk for vekstfarten eller stigningstallet til en funksjon for gitte x-verdier.

    Den generelle formelen

    \begin{align}\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\end{align}

    eller skrevet slik

    \begin{align}f(x)&=x^n\\f'(x)&=n\cdot x^{n-1}\end{align}

    kan brukes på utrykk som inneholder \(\sqrt{x}\) og \(\frac{1}{x^n}\)

    Før vi ser på fremgangsmåten husker vi at:

    når vi har flere ledd, deriverer vi ledd for ledd.

    Eksempel

    \begin{align}f(x)&=2x^2+4x-4\\f'(x)&=4x+4\end{align}

    Her har vi altså derivert hvert ledd for seg.

    Når vi får ulike polynom utrykk og utrykk som inneholder \(\sqrt{x}\) og \(frac{1}{x^n}\) må vi først få skrevet de om slik at alle ledd er på formen \(x^n\).

    Eksempler

    1)

    \begin{align}f(x)&=3x^2+\sqrt{x} \\&=3cdot x^2+x^\frac{1}{2}\end{align}

    Nå har vi skrevet om utrykket slik at vi kan bruke regelen \(x^n\) og derivere

    \begin{align}f'(x)&=3\cdot 2x^1+\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}\\&=6x+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\&=6x+\frac{1}{2x^{-\frac{1}{2}}}\\&=6x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{align}

    Vi ser at \( (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Når vi vet dette er det ikke nødvendig å skrive om rot utrykket lenger men vi vet løsningen og kan skrive direkte hva \( (\sqrt{x})'\) er.

    2)

    Vi kan også ha utrykk som

    \begin{align}f(x)&=\sqrt{x}+\frac{1}{x^3}\end{align}

    som vi kan skrive om til

    \begin{align}f(x)&=\sqrt{x}+x^{-3}\end{align}

    Når vi skal derivere deriverer vi ledd for ledd

    \begin{align}f'(x)&=\frac{1}{2\sqrt{x}}+(-3)x^{-3-1}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}-3x^{-4}\\&=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{x^4}\end{align}

    Vi ser her at \( (\frac{1}{x^3} )'= -\frac{3}{x^4}\). Når vi kan denne reglen er det ikke nødvendig å skrive om \(f(x)\) for å urføre derivasjonen.

    3)

    Når vi skal derivere utrykk som

    \begin{align}f(x)&=3\sqrt{x}+\frac{5}{x^4}+\sqrt[3]{x^5}\end{align}

    skriver vi om \(f(x)\) til

    \begin{align}f(x)&=3\sqrt{x}+\frac{5}{x^4}+x^{\frac{5}{3}}\end{align}

    Da kan vi utføre derivasjonen

    \begin{align}f'(x)&=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{5\cdot (-4)}{x^5}+\frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-\frac{3}{3}}\\&=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{5\cdot (-4)}{x^5}+\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}\\&=\frac{3}{2\sqrt{x}}+\frac{5\cdot (-4)}{x^5}+\frac{5}{3} \sqrt[3]{x^2} \end{align}

    Relger

    \begin{align}( \sqrt{x})'&=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\(\frac{1}{x^n})'&=-\frac{n}{x^{n+1}}\\(\sqrt[n]{x^m})'&=\frac{m}{n}\sqrt[n]{x^{m-n}}\end{align}

  • Derivere

    For å derivere i Microsoft Mathematics 4.0 har du flere valg

    Alternativ 1

    Skriv inn utrykket og velg at MM4 skal derivere.

    Skriv inn utrykket, velg "differentiate on x".

    Alternativ 2

    Skriv inn utrykket slik du kan skrive det på papir

    Kalkulatoren deriverer da utrykket

    Alternativ 3

    Trykk på knappen

    og skrive utrykket inn i parantesene

  • Derivere - wxMaxima

    For å derivere i geogebra brukes kommandoen diff. Skrivemåten er

    diff(<utrykk>,<variabel>)
    

    Eksempel